Graph

Graph für die Distanzen zwischen Städten

nur relevant für den Leistungskurs!

Ein Graph ist in der Graphentheorie eine Struktur, die eine Menge von Objekten zusammen mit den zwischen diesen Objekten bestehenden Verbindungen repräsentiert. Die mathematischen Abstraktionen der Objekte werden dabei Knoten des Graphen genannt. Die paarweisen Verbindungen zwischen Knoten heißen Kanten.

Ein Graph kann entweder als Graph, als Adjazenzliste oder als Adjazenzmatrix dargestellt werden.

Erklärvideos

• Breiten- und Tiefendurchlauf: Theorie

• Breitendurchlauf: Implementierung

• Tiefendurchlauf: Implementierung

Fachbegriffe

Graph, Knoten, markieren, Kante, Gewicht, Traversierung, Breitendurchlauf, Tiefendurchlauf

Schnittstellenbeschreibung

Graph Schnittstellenbeschreibung (ab Abi 2018)

Adjazenzmatrix

Knoten und Kanten eines Graphen können in Form einer Matrix dargestellt werden. Die Matrix ist dabei spiegelsymmetrisch.

Der oben dargestellte Graph hat folgende Adjazenzmatrix:

	Berlin	Bremen	Dortmund	Frankfurt	Hamburg	Hannover	Kassel	Koeln
Berlin					289	290
Bremen			234		119	122
Dortmund		234				210	160	93
Frankfurt							193	189
Hamburg	289	119				150
Hannover	290	122	210		150		167
Kassel			160	193		167
Koeln			93	189

TODO: Algorithmus zum Erzeugen eines Graphen aus einem 2D-Array (Adjazenzmatrix)

Adjazenzliste

Man kann die Informationen eines Graphen auch als Adjazenzliste darstellen. Das bietet sich z.B. an, wenn es in einem Graphen nur wenige Kanten gibt; dann ist die komplette Adjazenzmatrix Platzverschwendung.

In der Adjazenzliste werden links von oben nach unten alle Knoten aufgeführt, z.B. in alphabetischer Reihenfolge; die Reihenfolge ist aber frei wählbar.

Nach rechts werden alle Nachbarknoten des linken Knoten mit den zugehörigen Entfernungen eingetragen. Auch hier ist die Reihenfolge frei wählbar.

Der oben dargestelle Graph hat folgende Adjazenzliste:

Berlin → Hamburg (289) → Hannover (290)
   ↓
Bremen  → Dortmund (234) → Hamburg (119) → Hannover (122)
   ↓
Dortmund → Bremen (234) → Hannover (210) → Kassel (190) → Köln (93)
   ↓
Frankfurt → Kassel (193) → Köln (189)
   ↓
Hamburg → Berlin (289) → Bremen (119) → Hannover (150)
   ↓
Hannover → Berlin (290) → Bremen (122) → Dortmund (210) → Hamburg (150) → Kassel (167)
   ↓
Kassel → Dortmund (160) → Frankfurt (193) → Hannover (167)
   ↓
Koeln → Dortmund (93) → Frankfurt (189)

Traversierungen von Graphen

Wie bei Bäumen gibt es auch bei Graphen viele Anwendungen, in denen ein Graph knotenweise durchlaufen werden muss. Die Traversierungsverfahren ähneln denen bei Bäumen, berücksichtigen allerdings noch die speziellen Gegebenheiten von Graphen, nämlich:

• Graphenknoten können mehr als zwei Nachbarn haben
• Graphen können Querverbindungen und "Kreise" enthalten

Tiefendurchlauf

Erläuterung

Beim Tiefendurchlauf (engl. Depth First Search - DFS) durch einen Baum nimmt man ausgehend von einem Startknoten den ersten Nachbarknoten. Von diesem nimmt man wieder den ersten Nachbarknoten usw. Wenn man dann in eine Sackgasse gerät, geht man eine Stufe zurück und nimmt den nächsten Nachbarknoten. Natürlich werden Knoten, die man schon besucht hat, nicht noch einmal berücksichtigt.

Der Tiefendurchlauf entspricht der Preorder-Traversierung eines Baumes.

Beispiel:

Es gibt für jeden Startknoten mehrere mögliche Tiefendurchläufe, denn man kann sich bei den Nachbarknoten frei entscheiden, welchen man zuerst nimmt. In diesem Beispiel werden die Nachbarknoten immer nach alphabetischer Ordnung genommen.

Tiefendurchlauf für den Startknoten Frankfurt:

Zu Anfang kann man immer direkt weitergehen:

Frankfurt -> Kassel -> Dortmund -> Bremen -> Hamburg -> Berlin -> Hannover

Von Hannover aus ist kein freier Knoten mehr erreichbar. Deswegen muss man jetzt in der Liste zurckgehen, bis man zu einem Knoten kommt, der noch einen freien Nachbarknoten hat. Das ist in diesem Fall Dortmund (der freie Nachbarknoten ist Koeln). Das heißt, Koeln wird als nächstes angehängt, und man würde von Köln aus weitersuchen (wenn es noch freie Knoten gäbe...)

Ergebnis:

Frankfurt -> Kassel -> Dortmund -> Bremen -> Hamburg -> Berlin -> Hannover -> Koeln

Implementierung

Der Tiefendurchlauf durch einen Graphen wird am einfachsten rekursiv programmiert.

Voraussetzung: kein Knoten ist markiert!

 public List<Vertex> tiefendurchlauf(Graph pGraph, Vertex pNode){
   List<Vertex> ergebnis = new List<>();

   //Abbruchbedingung
   if(pNode.isMarked()){
      return ergebnis;
   }
 
   // pNode an die ergebnis-Liste anhaengen und markieren
   ergebnis.append(pNode);
   pNode.setMark(true);

   //Alle Nachbarn von pNode
   List<Vertex> nachbarn = pGraph.getNeighbours(pNode);

   //Nachbarn mit for-Schleife durchlaufen
   for(nachbarn.toFirst(); nachbarn.hasAccess(); nachbarn.next()){
     Vertex aktuellerNachbar = nachbarn.getContent();
     //Rekursiver Aufruf
     List<Vertex> erg2 = tiefendurchlauf(pGraph, aktuellerNachbar);
     ergebnis.concat(erg2);
   }
   return ergebnis;
 }

Breitendurchlauf

Der Breitendurchlauf (engl. breadth first search - BFS) ist eine Methode, um alle Knoten eines Graphen aufzuzählen.

Erläuterung

Mit dem Breitendurchlauf werden die Knoten in folgender Reihenfolge aufgezählt:

1. zuerst der Startknoten,
2. dann die Nachbarknoten des Startknotens, d.h. alle Knoten, die vom Startknoten aus über eine Kante erreichbar sind.
3. dann die Knoten, die vom Startknoten aus mit zwei Kanten erreichbar sind.
4. usw.

Knoten, die schon einmal aufgezählt wurden, werden natürlich nicht wieder aufgezählt.

Im Binärbaum ist der Breitendurchlauf genau Levelorder.

Beispiel

Beim Breitendurchlauf gibt es für jeden Startknoten mehrere Möglichkeiten, denn mann kann zwischen den Nachbarknoten wählen. Hier werden die Nachbarknoten immer in alphabetischer Reihenfolge betrachtet.

Breitendurchlauf für den Startknoten Frankfurt

Erst der Startknoten und seine Nachbarknoten:

Frankfurt -> Kassel -> Koeln

Jetzt wird von den Nachbarknoten der erste genommen und dessen Nachbarknoten werden betrachtet:

Frankfurt -> Kassel -> Koeln -> Dortmund -> Hannover

Der nächste Knoten in der Liste, der noch freie Nachbarknoten hat, ist Dortmund:

Frankfurt -> Kassel -> Koeln -> Dortmund -> Hannover -> Bremen

Schließlich die Nachbarknoten von Hannover:

Frankfurt -> Kassel -> Koeln -> Dortmund -> Hannover -> Bremen -> Berlin -> Hamburg

Beim Breitendurchlauf wird also zuerst die "nähere Umgebung" betrachtet.

Implementierung

Die Implementierung setzt darauf auf, dass der Graph linearisiert wird:

Man braucht eine knotenListe; in diese werden nach und nach alle Knoten des Graphen gemäß der Breitendurchlauf-Reihenfolge eingefügt.

1. zuerst wird der Startknoten als besucht markiert und in knotenListe eingefügt.
2. Dann wird knotenListe von Anfang bis Ende durchlaufen. Dabei passiert folgendes:
   1. Für jeden Nachbarknoten des aktuellen Knoten wird überprüft, ob er schon besucht wurde. Wenn nein, dann wird er als besucht markiert und in knotenListe eingefügt.

So wächst die knotenListe von einem Element (=dem Startknoten) beginnend immer weiter an, während sie durchlaufen wird. Die Schleife kommt zum Ende, wenn alle Knoten eingefügt und als besucht gekennzeichnet sind.

 
   public List<Vertex> breitenDurchlauf(Graph pGraph, Vertex pStart){
       List<Vertex> ergebnis = new List<Vertex>();
       // alle Markierungen loeschen
       pGraph.setAllVertexMarks(false);
       pGraph.setAllEdgeMarks(false);
       // den Startknoten markieren und in ergebnis einfuegen
       pStart.setMark(true);
       ergebnis.append(pStart);
       // ergebnis durchlaufen:
       // ergebnis hat zu Anfang nur ein Element...
       // ... waechst dann aber immer weiter!
       for(ergebnis.toFirst(); ergebnis.hasAccess(); ergebnis.next()){
           Vertex aktuell = ergebnis.getContent();
           List<Vertex> nachbarn = pGraph.getNeighbours(aktuell);
           // die Nachbarn mit einer Schleife durchlaufen
           for(nachbarn.toFirst(); nachbarn.hasAccess(); nachbarn.next()){
               Vertex aktuellerNachbar = nachbarn.getContent();
               // Wenn der aktuelleNachbar nicht markiert ist,
               // wird er zu ergebnis hinzugefuegt
               if(!aktuellerNachbar.isMarked()){
                   Edge kante = pGraph.getEdge(aktuell, aktuellerNachbar);
                   kante.setMark(true);
                   aktuellerNachbar.setMark(true);
                   ergebnis.append(aktuellerNachbar);
               }
           }  // ende des Durchlaufs durch die Nachbarn.
       } // ende des Durchlaufs durch ergebnis
       return ergebnis;   
   }

Backtracking: kürzeste Wege auf Graphen

siehe Backtracking

Dijkstra-Algorithmus: kürzeste Wege auf Graphen

siehe Dijkstra-Algorithmus

Anwendungsbeispiele zu Graphen

Minimaler Spannbaum

siehe Minimaler Spannbaum